요가일래2013.05.13 06:33

며칠 전 초등학교 5년생인 딸아이의 수학 숙제 때문에 잠시 동안 우리 부부는 서로 얼굴을 붉히게 되었다. 학교에 일하러 집을 나서면서 아내가 부탁했다.

"내가 돌아올 때까지 당신이 요가일래의 수학 숙제을 도와줘."

'초등학교 수학 문제쯤이야 쉽게 알겠지.'라고 생각했다. 

"아빠, 이거 정말 어려워. 아빠가 도와줘."
"그래. 알았다."

소숫점 세 자리까지 나오는 나누기 문제였다. 보니까 한국에서 40년 전에 배운 수학과는 수식 표기와 푸는 방식이 다 달랐다. 특히 풀지 못하는 딸아이에게 한국어로 그 방식을 설명하기가 쉬운 일이 아니였다.

우선 한국은 곱하기를 x, 나누기를 ÷로 표기하는데 리투아니아는 곱하기를 ., 나누기를 :로 표기한다.

푸는 방식은 12 ÷ 4이면 한국은 4┌ 12로 뒤의 숫자가 앞으로 가고 앞의 숫자가 뒤로 가는 방식으로 하고, 왼쪽에서 오른쪽으로 푼다. 리투아니아는 아래 사진에서 붉은색으로 네모칸을 표시한 것처럼 12 └ 4로 오른쪽에서 왼쪽으로 푼다. 물론 이렇게 하나 저렇게 하나 답은 마찬가지이지만, 리투아니아 학교에 다니므로 한국식보다는 리투아니아식으로 해결하는 것을 가르쳐주는 것이 더 좋겠다. 


소숫점 자리 수가 많아지자 딸아이가 정말 어려워했다. 아예 너무 어렵다고 생각하고 더 이상 알려고 하지 않았다.

"아빠, 이것은 초등학교 5학년생이 풀 수 없는 문제야. 아빠도 힘들어 하잖아."
"그래. 엄마가 아빠보다 리투아니아어로 더 잘 설명해줄 거야. 그리고 정말 모르는 것을 억지로 알려고 하다보면 머리가 더 아플 거야. 숙제를 다 못해 간다고 너무 불안하고 걱정하지마. 선생님에게 솔직히 말해 - 어려워서 이해할 수가 없으니 선생님이 다시 한번 설명해주면 좋겠다고."

이날따라 아내가 늦게까지 일하고 밤 10시경에 돌아왔다.

"수학 숙제는?"
"설명하기 어려워 당신을 기다렸지."
"뭐?!"

피곤한 아내는 불만스러워하면서도 열심히 설명했다. 하지만 딸아이는 여전히 이 문제가 자신의 능력을 벗어난 것이라 믿고 더 이상 알려고 하지 않았다. 그럴수록 아내의 언성은 높아지고, 딸아이의 눈물은 점점 진해졌다.

급기야 화살은 나에게로 향했다. 아내의 참을성은 한계에 도달했고, 불만과 질책은 쏟아졌다.

"하루 종일 집에 있으면서 요가일래 수학 숙제 하나도 해결해주지 못 했어! 당신은 오늘 도대체 뭐했어?"

100번 맞는 말이다. 하지만 조금 모르더라도 강요해서 딸에게 지식을 주입시키느 일은 하고 싶지 않았다. 오늘은 모르더라도 내일은 알 수도 있다. 스스로 해결 능력이 자연스럽게도 생길 수도 있다. 이해하기 힘든 것을 윽박질러서 가르치면 오히려 역효과가 나올 수 있다.

숙제를 다 하지 못해서 학교에 가면 해온 친구들과 비교가 된다. 그러면 자존심이 상하고, 부끄러움을 느낀다. 이것이 딸아이가 스스로 문제를 해결하고자 하는 의욕을 불러일으킬 수 있다.

"당신, 이제 그만해!!! 자, 숙제 다 못 해도 되니까, 요가일래 너는 자러 가라. 벌써 밤 11시다. 그리고 내일은 일체 컴퓨터도 할 수 없고, 텔레비전도 볼 수 없다. 오로지 수학 문제를 풀 수 있도록 해라. 봤지? 네 숙제로 결국은 엄마와 아빠가 서로 얼굴 붉히게 되잖아. 가정의 평화를 위해서라도 네가 좀 잘 해라."
"정말 어려워. 학교 가기 싫어."
"내일 아침 되면 학교에 가고 싶을 거야. 숙제 생각하지 말고 편하게 잠을 자라. 세상에는 모르는 것도 있어야지. 모르니까 학교에 가는 것이지." 

Posted by 초유스
기사모음2013.03.23 08:31

폴란드 누리꾼들 사이에 화제가 된 수학 문제를 소개한다. 먼저 컴퓨터 계산기와 답이 다른 수학 문제이다. 암산하기 싫어 계산기로 두드린다. 정확한 기계가 정확하게 계산한 것이라고 우겨지만 실상은 아니다. 곱하기와 나누기가 더하기와 빼기보다 먼저 계산해야 한다.


이 보다 훨씬 더 난해한 문제이다. 6÷2(1+2)이다.   


괄호 안의 수식은 어떤 경우에서든지 우선순위가 제일 높다.

6÷2(3)이다. 

곱하기와 나누기가 있으면 순서대로 하면 된다. 
이 경우 답은 9이다.
그런데 2(3)을 먼저 계산하면 답은 1이다. 

또 하나 재미난 것은 수학 문제가 아니라 바로 채점이다. 
질문: 곱하기로 각 종류의 꽃이 송이인 지를 계산하십시오


답은 맞지만 방법이 틀린다고 선생님이 줄을 긋고 학생의 답을 고쳤다.

5 X 3 = 15
3 X 5 = 15과 다르다고 정말 줄을 긋어 고쳐야 할 문제일까...... 수학에 대한 학생의 의욕을 잃게 하기에 딱 좋은 채점이다. 

물론 해석 방법이 다르지만 답은 똑 같다.
세 묶음에 각각 꽃 다섯 송이가 있다.
꽃 다섯 송이가 있는 묶음이 세 개 있다.  

내가 수학 선생님이라면 줄을 긋는 대신 동그라미를 쳤을 것이다. 모든 학생이 수학 선생님 방식대로 답을 했고, 이 아이만 이렇게 했다면 새로운 접근으로 인해 오히려 가산점까지 주고 싶다. 

Posted by 초유스
생활얘기2011.10.03 07:33

아래 사진 속의 수학 문제를 과연 누가 풀 수 있을까?
이것이 중요한 시험의 문제라면 참으로 걱정스럽고 긴 한숨이 나올 법하다.
[사진출처 image source link]
 

혹시 마음에 두고 있는 남친이나 여친으로부터 받은 수학 문제라면 어떨까?
그 해법을 풀기 위해 온갖 조합을 머리 속에 짜낼볼 법하다.  

그래도 풀리지 않는다. 결국 포기한다.
하지만 우연히 내려놓은 볼펜이 위로부터 수학 문제의 반(半)을 가로막는다.


우와, 이렇게 묘할 수가 있을까? 이 문제를 낸 사람은 참으로 재치있는 사람이구나.
"I Love you"


Posted by 초유스
사진모음2011.06.10 06:53

나이가 들어가니 숫자 외우기가 점점 어려워진다. 누가 휴대전화 번호를 물을 때에는 먼저 손으로 종이 위에 전화번호 숫자를 쓴 후에 이것을 읽어준다. 마치 머리가 외운 것이 아니라 손이 외운 것처럼 보인다. 숫자에 얽힌 재미난 일이 하나 있다.

고등학교 때 한 선생님이 앞으로는 글자도 숫자로 표현하는 시대가 도래할 것이라고 말하면서 각자 이름을 숫자화해보라고 했다. 이름을 흘림체로 쓰면 숫자가 더 잘 보인다고 했다.    

그렇다면 숫자
321 217 123
은 무슨 글자일까
답은 최 대 석이다. 이 이름을 흘려 쓰면 이 숫자가 얼핏 맞을 것이다.

숫자가 바탕인 수학은 어떤 이에게는 지루하고, 어떤 이에게는 재미난 학문이다. 수학이 지루하지 않음을 보여주기 위해 다양한 숫자의 마법을 찾는 사람들이 있다. 최근 폴란드 누리꾼들 사이에 인기를 끈 신기한 숫자로 만들어보는 재미난 수학 피라미드 사진을 소개한다. [사진출처 | image source link]  


특히 12345678987654321은 어떻게 해서 생성될까?
이는 아홉 개의 1 X(곱하기) 아홉 개 1이다.

너무 신기해서 계산기를 이용해 계산해보았다. 정답이다. 막상 해결된 것을 보면 별다른 것이 같은데 저 해법을 찾으려고 얼마나 많은 시간과 노력이 들어갔을까...... 수학도라면 한번쯤 데이트할 때 사용하면 좋을 것 같다.

* 최근글: 견고한 벙커로 변형할 수 있는 단독 주택

Posted by 초유스
사진모음2008.07.12 14:24

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튜튼기사단 국가 및 프로이센 공국의 수도였던 쾨니히스베르크는 제2차 세계 대전 이후 동프로이센의 절반가량이 소련의 영토가 되면서 소련 지도자 미하일 칼리닌의 이름을 딴 지금의 이름으로 바뀌었다. 이 도시는 철학자 칸트가 평생을 살았던 곳으로 유명하다. 이 도시를 유명케 한 또 다른 것은 바로 7개 다리 건너기 문제이다.

두 개의 섬을 형성하며 프레겔 강이 쾨니히스베르크 중심가를 흐르고 있다. 이 섬과 강변을 연결하는 7개의 다리가 있다. 18세기 이 7개의 다리들을 한 번만 건너면서 처음 시작한 위치로 돌아오는 길이 있는가 하는 문제가 제기되었다. 흔히 이를 한붓그리기 문제라고 한다. 1736년 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 이것이 불가능하다는 것을 증명했다.

안타깝게도 2차 대전 때 연합군의 폭격으로 95%가 파괴되어, 지금의 다리 모습은 그 전의 다리와 똑 같을 수 는 없지만, 그래도 18세기 사람들을 고민하게 한 7개  다리 건너기 문제를 한번쯤 다시 생각하게 해준다. 지난 6월 하순 방문했을 때 그 다리들의 흔적을 찾아다녀보았다. 3과 4번 다리는 완전히 사라졌다.

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      ▲ 위에서 내려다본 7번 다리
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      ▲ 측면에서 본 7번 다리
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      ▲ 측면에서 본 7번 다리
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      ▲ 위에서 내려다본 6번 다리
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      ▲ 앞에서 본 6번 다리
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      ▲ 측면에서 본 6번 다리
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      ▲ 위에서 내려다본 5번 다리
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      ▲ 앞에서 본 5번 다리
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      ▲ 위에서 본 2번 다리 (원래 다리는 부서지고 새로운 고가다리)
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      ▲ 측면에서 본 1번 다리 (원래 다리는 부서지고 새로운 고가다리)
Posted by 초유스